แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์: การหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยและอัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะ

ก่อนที่เราจะมาหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยและอัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของกราฟเส้นโค้ง เราจะต้องเข้าใจความหมายของเส้นตัดกราฟและเส้นสัมผัสกราฟเสียก่อน

จากรูปด้านบน เส้นตรงที่ลากผ่านจุด P และ Q เป็นเส้นตัดกราฟ ส่วนเส้นที่สัมผัส P โดยไม่ตัดจุดอื่นคือเส้นสัมผัสกราฟ ในกรณีฟังก์ชั่นที่ไม่เป็นเชิงเส้นนี้ เราถือว่าความชันของเส้นตัดกราฟที่ P และ Q เป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของฟังก์ชั่นจาก x0 ไป x1 ส่วนความชันของเส้นสัมผัสที่จุด P ถือเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะที่ x0

เราสามารถหาความชันของเส้นตัดกราฟได้โดยใช้สูตรเดิมที่เคยเรียนมา ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของฟังก์ชั่นจาก x0 ไป x1 หาได้จาก

ส่วนอัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะที่เวลา x0 นั้นมีวิธีการหาอยู่สามวิธีได้แก่

1. ใช้สูตรหาลิมิต ดังสมการ

วิธีนี้จะไม่นำมาใช้ในรายวิชานี้ เพราะความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ นอกจากนั้น ยังเป็นแนวคิดเดียวกับวิธีที่ 3 ซึ่งง่ายกว่า

2. วาดกราฟแล้วหาจากความชันของกราฟ ซึ่งอาจคลาดเคลื่อนถ้าวาดเส้นสัมผัสไม่ชัดเจน

3. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่น ซึ่งจะศึกษาในเรื่องถัดไป

ในที่นี้ เราจะลองใช้วิธีที่ 2 ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง: จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของกราฟ y = 2/x ที่จุด (2,1)