แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์: ความชันและอัตราการเปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เห็นได้ชัดในชีวิตประจำวันได้แก่ ความเร็ว ซึ่งเป็นอัตราการเปลี่ยนตำแหน่งเมื่อเทียบกับเวลา อย่างไรก็ตาม อันที่จริงแล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ในหลายสาขา ดังนี้

- นักจุลชีววิทยาต้องการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงจำนวนแบคทีเรียต่อหน่วยเวลา

- วิศวกรสนใจในการเปลี่ยนแปลงของเหล็กเส้นเมื่อเทียบกับอุณหภูมิ

- นักเศรษฐศาสตร์สนใจอัตราการเปลี่ยนแปลงต้นทุนเมื่อเทียบกับจำนวนผลิตภัณฑ์

- นักวิจัยทางการแพทย์สนใจอัตราการขยายตัวของหลอดเลือดเมื่อเทียบกับปริมาณแอลกอฮอล์ในเลือด

จากการที่เราได้ศึกษาเรื่องฟังก์ชั่นเชิงเส้นมาในหัวข้อก่อนหน้านี้ ทำให้เราทราบว่าอัตรานั้นเป็นการหาว่าเมื่อมีการเคลื่อนที่ในแนวแกน x ไปหนึ่งค่า จะมีการยกตัวของกราฟในแนวแกน y เท่าไหร่ ซึ่งในกรณีกราฟเชิงเส้น อัตราจะมีค่าเท่ากับความชัน ดังแสดงในรูปด้านล่าง

เราลองมาทบทวนการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นกันดู ดังตัวอย้่าง

ตัวอย่าง: จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เมื่อเทียบกับ x ในข้อ (a) และ (b)

ตัวอย่าง: ทำการทดลองนำเอาเหล็กเส้นยาว 40 cm ด้านหนึ่งตั้งให้อุณหภูมิคงที่ 5 องศาเซลเซียส อีกด้านหนึ่ง 25 องศาเซลเซียส ส่วนที่เหลือหุ้มฉนวน เราวัดอุณหภูมิที่จุดห่างจากปลายด้าน 25 องศาเซลเซียส อยู่ x เซนติเมตร โดยเปลี่ยนค่า x ไปเรื่อยๆแล้วนำมาพล็อตเป็นกราฟ ดังรูป

อย่างไรก็ตาม มีคำถามอยู่ว่าหากกราฟไม่ใช่เชิงเส้น อัตราควรจะเป็นเท่าไร เพราะหากเราใช้วิธีเดียวกับสมการเชิงเส้น เราจะได้อัตราที่ไม่คงที่ ดังแสดงในรูปล่าง ซึ่งเรื่องนี้ เราจะพูดถึงต่อไปในหัวข้อ "แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์: การหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยและอัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะ"