แคลคูลัสเชิงปริพันธ์: การหาพื้นที่ใต้กราฟโดยใช้ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative) หรือปริพันธ์ (Integral)

เนื่องจากการหาพื้นที่ใต้กราฟโดยใช้วิธีแบ่งกราฟเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าย่อยๆหลายๆรูปเป็นวิธีที่ต้องใช้ความละเอียดสูงและเกิดความคลาดเคลื่อนได้ง่าย ในหัวข้อนี้เราจะใช้วิธีที่คิดค้นได้พร้อมกันโดย Gottfried Leibniz และ Isaac Newton ในคริสต์ศตวรรษที่ 17 ซึ่งอธิบายได้สั้นๆดังนี้

จากรูปด้านบน ถ้าเราให้ A(x) เป็นพื้นที่ใต้กราฟตั้งแต่ a ถึง x แล้ว Leibniz กับ Newton พิสูจน์ได้ว่าอนุพันธ์ของ A(x) ซึ่งเขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า A'(x) จะมีค่าเท่ากับฟังก์ชั่น f(x)

ตัวอย่างการหาพื้นที่ใต้กราฟโดยใช้ปฏิยานุพันธ์มีดังต่อไปนี้

ตัวอย่าง: จงหาพื้นที่ใต้กราฟ A(x) ของฟังก์ชั่น f(x) ในข้อ (a) ถึง (c) ในช่วงตั้งแต่ [a,x] = [-1,x] หลังจากนั้นลองหาอนุพันธ์ A'(x) ดูว่าตรงกับฟังก์ชั่น f(x) หรือไม่

(a) เนื่องจากพื้นที่ใต้กราฟเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จึงใช้สูตรกว้างคูณยาวเพื่อหาพื้นที่ได้เป็น

จะเห็นว่าเมื่อหาอนุพันธ์ของพื้นที่จะได้เป็นฟังก์ชั่น f(x) จริง ดังสมการ