การประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์: การหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชั่นต่อเนื่อง

การหาปริพันธ์แบบจำกัดเขตนอกจากจะใช้หาพื้นที่ใต้กราฟแล้ว ยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับปัญหาทางวิศวกรรมได้มากมาย ในที่นี้จะยกตัวอย่างการนำไปใช้หาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชั่นต่อเนื่อง

โดยปกติแล้วเมื่อพูดถึงการหาค่าเฉลี่ยนั้น เรามักจะนึกถึงการหาผลรวมทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนสิ่งที่เอามารวมกันนั้น เช่น หารค่าข้าว เป็นต้น แต่ในกรณีที่เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่องเราไม่สามารถทำอย่างนั้นได้เนื่องจากมีจำนวนในทุกตำแหน่งที่ไม่สามารถรวมกันหมดได้ เช่น หาความเร็วเฉลี่ยของรถไฟสายหัวลำโพงไปลาดกระบัง เราทำได้ยากเพราะว่าเราไม่รู้จะวัดความเร็วกี่ครั้งแล้วเอามาเฉลี่ย ถ้าวัดทุกวินาทีกับวัดทุกนาที ค่าเฉลี่ยก็จะไม่เหมือนกัน

ในกรณีฟังก์ชั่นต่อเนื่องเราสามารถหาค่าเฉลี่ยโดยใช้ปริพันธ์จำกัดเขตได้ดังนี้

ไหนๆเราพูดถึงเรื่องความเร็วเฉลี่ยแล้ว เรามาลองทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการหาความเร็วเฉลี่ยกันดู

1) ถ้าเราปล่อยของจากตึกสูง ความเร็วจะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆตามเวลาดังสมการ v = 9.81t เมื่อ t เป็นเวลาในหน่วยวินาที และ v เป็นความเร็วในหน่วยเมตรต่อวินาที จงหาความเร็วเฉลี่ยเมื่อ

1.1) วัตถุตกลงมา 3 วินาที

1.2) วัตถุตกลงมา T วินาที

2) ถ้าวัตถุอย่างหนึ่งวิ่งโดยมีความเร็วเป็นฟังก์ชั่นของเวลาคือ v(t) = 2 + cos(t) จงหาความเร็วเฉลี่ยของวัตถุนี้ในช่วงเวลา

3) กราฟด้านล่างแสดงความเร็วของวัตถุเมื่อเทียบกับเวลา จงหาความเร็วเฉลี่ยของวัตถุในข้อ (a) และ (b)