การประยุกต์ใช้การแปลงฟูเรียร์ในวิศวกรรมไฟฟ้า: การส่งสัญญาณวิทยุ AM

ในการส่งสัญญาณวิทยุแบบ AM มีสัญญาณสำคัญที่ต้องผลิตขึ้นอยู่สองอย่าง ได้แก่ ส่วนที่เป็นสัญญาณเสียงที่ต้องการส่ง เขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า s(t) กับคลื่นพาหะ เขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า c(t)

โดยทั่วไปแล้ว สัญญาณเสียง s(t) จะมีความถี่ในช่วงที่มนุษย์ได้ยิน คือระหว่าง 50 Hz ถึง 20,000 Hz ในขณะที่คลื่นพาหะ c(t) จะมีความถี่สูงกว่านั้นมาก โดยอยู่ในช่วงระหว่าง 540 kHz ถึง 1.7 MHz ซึ่งเวลาวิทยุประกาศว่าช่องของตัวเองใช้คลื่นเท่าไหร่ คลื่นที่บอกนั้นคือคลื่นพาหะ c(t) นั่นเอง

คลื่นที่เครื่องส่งสัญญาณ AM ส่งออกไป เขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า v(t) เป็นส่วนผสมระหว่างสัญญาณเสียงและคลื่นพาหะ โดยสัญญาณ AM อย่างง่ายที่สุดสามารถเขียนในรูปสมการได้ดังนี้

โดยที่ A เป็นค่าคงที่ และ

เป็นความถี่เชิงมุมของคลื่นพาหะในหน่วยเรเดียนต่อวินาที

สัญญาณ v(t) นี้จะถูกส่งไปยังสายอากาศไปยังเครื่องรับวิทยุต่อไป

เราจะลองมาแปลงฟูเรียร์ดูเพื่อหาสเปกตรัมในโดเมนความถี่ของสัญญาณ s(t) และ v(t) ก่อนอื่นลองสมมุติให้สัญญาณเสียง s(t) เป็นคลื่น cosine ที่มีความถี่ 1kHz ดังสมการ

โดยที่

มีค่า 1000 kHz

เมื่อแปลงฟูเรียร์แล้วจะได้สัญญาณเสียงในโดเมนความถี่เป็น

นำมาพล็อตกราฟในโดเมนความถี่จะได้ผลลัพธ์ดังรูปล่าง

เมื่อนำเอาสัญญาณเสียงมาผสมกับคลื่นพาหะ โดยให้ค่าคงที่ A = 1 จะได้สัญญาณที่ส่งออกสายอากาศเป็น

จะเห็นว่าสัญญาณที่ส่งออกไปประกอบด้วยสองส่วนบวกกัน

ส่วนแรกได้แก่ส่วนของคลื่นพาหะล้วนๆคือ

ในขณะที่ส่วนที่สองคือผลคูณระหว่างคลื่นพาหะกับสัญญาณเสียง นั่นคือ

เราจะแปลงฟูเรียร์ทีละส่วนแล้วนำผลลัพธ์มาบวกกัน ส่วนแรกแปลงได้เป็น

ในส่วนที่สองนั้นเราจะจัดรูปก่อนแปลงให้อยู่ในรูป

หลังจากนั้นใช้คุณสมบัติ Modulation แปลงฟูเรียร์ได้เป็น

อีกวิธีหนึ่ง เราอาจจะแทนค่า s(t) เป็นสัญญาณ cosine ที่ได้ระบุไว้ข้างต้นไปก่อนเลยก็ได้ ดังนี้

ผลลัพธ์สุดท้ายของการแปลงฟูเรียร์ของ v(t) จะได้เป็น

เมื่อนำมาพล็อตกราฟ จะได้สัญญาณ AM ในโดเมนความถี่ดังรูปล่าง