การแก้ปัญหาโดยใช้โมเดลคณิตศาสตร์

โมเดลหรือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นการเปลี่ยนปัญหาเดิมโดยใช้ความคิดสร้างสรรค์เพื่อให้เป็นปัญหาใหม่ที่แก้ได้ง่ายกว่าเดิม ตัวอย่างเช่น ถ้าเราต้องการหาผลบวกจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100 จะต้องทำอย่างไรให้ง่ายที่สุด

---

1. เข้าใจปัญหา:

ลองหาผลบวกน้อยๆก่อนเพื่อให้เข้าใจการบวก

คำถาม 1 ??: ผลบวกจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 4 เป็นเท่าไร

คำถาม 2 ??: ผลบวกจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 8 เป็นเท่าไร

---

2. วางแผน:

จะเห็นว่าเมื่อบวกจำนวนเต็มมากขึ้นโดยใช้วิธีบวกตามลำดับเรื่อยๆจะยากและน่าเบื่อ รวมถึงผิดพลาดได้ง่าย จึงควรหาวิธีอื่นที่เป็นโมเดลคณิตศาสตร์มาช่วยเสริม

คำถาม??: รูปบันไดสีแดงประกอบด้วยสี่เหลี่ยมย่อยกี่อัน และคุณคิดว่าเราจะใช้รูปขวาหาผลบวกตั้งแต่ 1 ถึง 8 ได้อย่างไร

เฉลย: เราจะเห็นได้ว่ารูปด้านซ้ายมีจำนวนสี่เหลี่ยมย่อยอยู่ 1+2+3+4+5+6+7+8 อัน แต่การจะวาดรูปแล้วนับย่อมเสียเวลา หากเราดูรูปด้านขวาจะเห็นว่าพื้นที่ของบันไดสีแดงมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมใหญ่ที่รวมทั้งสีแดงและน้ำเงินเข้าด้วยกัน ดังนั้น ผลบวก 1+2+3+4+5+6+7+8 จึงหาได้จาก 8*9/2=36

---

3. ทำตามแผน

คำถาม??: ถ้าใช้วิธีเดียวกันกับการหาผลบวกจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 8 ในขั้นตอนที่แล้ว เราจะหาผลบวกจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100 ได้อย่างไร

---

4. ตรวจสอบและเรียนรู้เพิ่มเติม

เรามาลองตรวจสอบสิ่งที่เราคิดว่าถูกหรือไม่ โดยลองเทียบกับโมเดลคณิตศาสตร์แบบอื่น เช่นวิธีของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อเกาส์ที่ได้คิดไว้ขณะเขาอายุ 10 ขวบ ซึ่งอธิบายได้ดังรูปด้านล่าง

คำถาม??: จากรูป จงอธิบายว่าเกาส์หาผลบวกจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100 ได้อย่างไร และผลลัพธ์โดยวิธีของเกาส์ตรงกับวิธีของตัวเองหรือไม่